泊松过程学习笔记

November 17, 2014 | 16:39 随机过程 概率论

白天被同学问及泊松过程的有关内容,猛然发现对于这一部分内容已经没有多少印象了。为了在可预见的将来,能少被数学虐点,故重拾之前的概率书,做了一点关于这部分内容的笔记。

概述和定义

泊松过程是一类很典型的随机过程,生活中有许多常见的例子,考虑从某一时刻开始:

  1. 电子管阴极发射的电子到达阳极
  2. 某一网站被访问

先用大白话概况一遍,这一的过程特点是:

  1. 增加的概率在时间前后上没什么关联
  2. 某段时间内增加的个数只与这个时间的长短有关
  3. 每次只增加一个(一个电子到达,一个访问请求)
  4. 从0开始计数

这样的过程称为泊松过程。就好比从某一时刻起记录我们对于某一个网站的访问次数,把模型简化,不考虑大家使用网络有高峰时段(假设是平均分布的),也不考虑前面的访问者对后面的影响(比如我看完之后向他人分享),则这一过程就可以被简化成一个泊松过程。

从数学上抽象来说,把电子、网站访问看做是时间轴上的质点,这一过程即是随时间推移而在时间轴上陆续出现的质点所构成的质点流。用\(N(t),t \ge 0\)表示在时间间隔\((0,t]\)内出现的质点数,\( \{(N(t),t \ge 0\} \)是状态取非负整数、时间连续的随机过程,叫计数过程

对于在\((t_0,t]\)内出现\(k\)个质点这一事件,概率为:

$${P_k}({t_0},t) = P\{ N({t_0},t) = k\} ,k = 0,1,2 \cdots .$$

若计数过程满足以下条件(对应前面的大白话):

  1. 在不相重叠的区间上增量具有独立性
  2. 对于充分小的\(\Delta t\),有 $$P\{ N(t,t + \Delta t) = 1\} = \lambda \Delta t + o(\Delta t)$$ 其中\(o(\Delta t)\)是关于\(\Delta t\)的高阶无穷小
  3. 对于充分小的\(\Delta t\),有 $$\sum\limits_{j = 2}^\infty {P\{ N(t,t + \Delta t) = j\} = } o(\Delta t)$$
  4. \(N(0)=0\)

则这样的计数过程被称作强度为\(\lambda\)的泊松过程,相应的质点流叫做强度为\(\lambda\)的泊松流

关于泊松过程的概率,通过数学推导(此处略)可得:

$${P_k}({t_0},t) = {{{{[\lambda (t - {t_0})]}^k}} \over {k!}}{e^{ - \lambda (t - {t_0})}},t > {t_0},k = 0,1,2 \cdots .$$

可见其概率分布满足泊松分布。

泊松分布

回顾一遍离散型随机变量分布律中的泊松分布:

设随机变量\(X\)所有可能取的值为\(0,1,2,...\),而各取值的概率为: $$P\{ X = k\} = {{{\lambda ^k}{e^{ - \lambda }}} \over {k!}},k = 0,1,2,\cdots,$$ 其中\(\lambda>0\)是常数,则称\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布,记为\(X \sim \pi (\lambda )\)。

插一句,如果是先学习了泊松分布,可能会对其概率分布很费解,而在了解了泊松过程后,回头再看泊松分布,就能理解它的模型意义了。

对于泊松分布\(X\sim \pi (\lambda )\),它有些很重要的性质:

  1. 数学期望,\(E(X)=\lambda\)
  2. 方差,\(D(X)=\lambda\)

再把泊松分布的性质用到泊松过程中,令\(t_0=0\),可知:

$$E[N(t)] = \lambda t$$

$$D_N(t) = Var[N(t)] = \lambda t$$

由此可知,所谓的泊松分布的强度\(\lambda\),指的是单位长时间间隔内质点出现数目的期望值

等待时间和点间间距

对于某一泊松过程,我们把第\(n\)个质点出现的等待时间记作\(W_n\),它的分布函数为:

$$\eqalign{ & {F_{{W_n}}}(t) = P\{ N(t) \ge n\} = \sum\limits_{k = n}^\infty {{e^{ - \lambda t}}{{{{(\lambda t)}^k}} \over {k!}},t \ge 0} \cr & {F_{{W_n}}}(t) = 0,t < 0 \cr} $$

将其关于\(t\)求导,得概率密度为:

$${f_{{W_n}}}(t) = {{d{F_{{W_n}}}(t)} \over {dt}} = \left\{ \matrix{ {{\lambda {{(\lambda t)}^{n - 1}}} \over {(n - 1)!}}{e^{ - \lambda t}},t > 0 \cr 0,{\rm{otherwise}} \cr} \right.$$

可见这是服从\(\Gamma\)分布的。特别地,对于第一个质点的到达时间\(W_1\),它是服从指数分布的:

$${f_{{W_1}}}(t) = \left\{ \matrix{ \lambda {e^{ - \lambda t}},t > 0 \cr 0,{\rm{otherwise}} \cr} \right.$$

再看质点间的点间间距,有:

$${T_i} = {W_i} - {W_{i - 1}},i = 1,2, \cdots .$$

它也是服从指数分布的,且对于某一个泊松过程,\(\{T_i\}\)服从同一个指数分布(证明过程略)。

由此可得:

  1. 强度为\(\lambda\)的泊松过程的点间间距是相互独立的,且服从同一个指数分布
  2. 逆否命题:如果任意相继两质点的点间间距相互独立且服从同一个指数分布,则该质点流构成强度为\(\lambda\)的泊松过程

参考资料

  1. 《概率论和数理统计(第三版)》,浙江大学 盛骤 等编
  2. 泊松过程的维基百科
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